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数学おもしろ話 其の二

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『周期性・規則性』問題

☆(公立中高一貫校  適性検査過去問集 より)

[問題]

2人でトランプを使ったゲームをします。このゲームには,次のルールがあります。

○ 52枚のトランプを用いてゲームをする。

○ トランプの山から,おたがいが順番にカードをとっていく。

○ 一度にとれるカードの枚数は1枚から5枚まで。

○ 最後の1枚をとったほうが負け。

このゲームには,先手(先にとる人)が必ず勝つ方法があります。先手が必ず勝つためにはどのようにカードをとればよいですか。

その方法を書きなさい。

[解答]

相手に52枚めをとらせればよいので,自分が51枚めをとればよい。ここから公差(ー6)の等差数列的に数を選んでいくと45,39,

33,27,21,15,9,3枚目のカードを自分がとって行けば,相手が1枚から5枚のうちいずれの枚数をとったとしても,前述の順番の

番号にあたる枚数は,必ず自分がとることができ,結局51枚めを自分がとって勝つことができる。だから,最初に3枚とって,その後

は,前述の番号にあたる枚数を確実にとって行けば必ず勝てる。

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どうですか。もし,あなたがこの”からくり”を知らない人と,このゲームを行って,毎回あなたが勝ったら,相手の人は首をかしげ

ると思いませんか。

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~~このカードの枚数をn枚とし,円形に並べて,ある規則に従ってカードをとっていくとき,最後に残るカードの数字は何か。~~

という問題が,開成中学の算数科の入試で出題されています。

この類の問題(数学ゲームと言ってもいいでしょう),実はかなり古くから行われていて,日本では室町時代までさかのぼり「ままこ立て」と呼ばれていました。

継子(ままこ)とは,”血のつながりの無い子ども・先妻の子ども”のことです。その家の後継ぎ(あとつぎ)を決めるときに,子ども達を円形に並ばせて,こういったゲーム的な方法をとったことから「継子立て」の名前がついたようです。

ヨーロッパでは,もっと古く,4世紀頃には「ヨセフスの問題」として扱われていました。

今回の例題は,中学入試レベルのものを紹介しましたが,勿論,大学入試でも「整数論」の問題として出題されていて,難関大学を目指す人は解けなければならない領域の問題です。

 

 


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