講師ブログ

難関高校合格のための数学(1)

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みなさん,こんにちは。まなぶてらす講師のワタルです。

昨日(8月30日)は,第360回 実用数学技能検定が行われました。まなぶてらすの生徒さん達も多数 受検したことと思います。私は,小・中学生の皆さんに 数学・理科・英語の「先取り学習」を

勧めており,数学の先取り学習のツールとして「数学検定」への取り組みをお勧めしております。

また,今回は「難関高校」の受験を考えている人へ,数学の学習の一方法として以下のような3級2次の「数学検定特有問題」を解いてみることをお勧めしたいのです。この問題は,昨日行われた3級2次の問題です。

[問題] 今年は2020年です。2020という整数について,次の問いに答えなさい。

(整理技能)

 

(1) 下の等式を満たすabcd の値を求めなさい。ただし,これらは連続する素数で,

    a<b<c<dとします。

2020= abcd

 

(2) 下の等式を満たすefghijkmn,のうち,enの値をそれぞれ

求めなさい。ただし,これらは連続する偶数で,

e<f<g<h<i<j<k<<m<n とします。

2020= ef ghijk mn

 

[解答&解説]

<平方九九の表>(ゴロ合わせで暗記しましょう!)

(1)上の「平方九九」の表から素数2つを選ぶ。(和を2020に近づけるために,大きいものを

2つ選ぶ)   17=289,19=361

20を超える素数の平方数を探すと(小さい方から)

23=529,29=841

これら,4つの平方数の和は

17+19+23+29=289+361+529+841=2020

(答)  a17b19c23d29 

 

(2) e2αとおくと,f2α2,・・・・・,m2α16,n2α18 となるから,

ef ghijk mn

=(2α)+(2α2)+・・・・・・・+(2α16)+(2α18)

    =(4α)+(4α8α)+(4α16α)+(4α24α

+(4α32α)+(4α40α10)+(4α48α12

+(4α56α14)+(4α64α16)+(4α72α18

・・・・・・・・・・・・・・ ①

① において,

αの2次項は,4×10=40

αの1次項は,816+24+・・・・+72=8(1+2+3+・・・・・+9)

=8×45=360

αの0次項(定数項)は,2+4+6+・・・・・・+16+18

=4×(1+2+・・・・・・+8+92)

=4×1/6 ×9×10×(2×9+1)

              =×4×9×10×19=1140

よって,次のようなαの2次方程式が成り立つ。

40α+360α+1140=2020

⇔   40α+360α―880=0    両辺を40で割って

α+9α―22=0

⇔    (α+11)(α―2)=0

α>0 より α=2   それぞれ代入して

e2×2=4, n2×218=22

(答)  e, n22 

 


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